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[Música]
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qué tal amigos espero que estén muy bien
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bienvenidos al curso de derivadas y
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ahora hablaremos del concepto de
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derivada
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para empezar a hablar del concepto de la
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derivada primero debemos comprender muy
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bien el concepto de velocidad promedio y
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de velocidad instantánea que algo de eso
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es de lo que habla la derivada no
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entonces primero que todo vamos a tratar
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de comprender el concepto de velocidad
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promedio entonces para eso vamos a ver
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aquí una competencia entre estos dos
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carros estos dos carros están
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compitiendo a ver cuál llega primero
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aquí a la meta que pues aquí lo
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observamos que sería 100 metros de
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recorrido entonces los dos carros van a
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empezar a acelerar
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obviamente el cronómetro va a empezar a
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contar cómo lo vemos el auto azul está
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cogiendo la ventaja el auto rojo y en el
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último segundo en el segundo número 5 se
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observa que el automóvil azul llegó a
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los 100 metros en esos 5 segundos
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mientras que el auto rojo que venía un
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poco más despacio recorrió solamente 80
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metros entonces vamos a hacer a mirar
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cuál fue la velocidad promedio del auto
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azul y la velocidad promedio del auto
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rojo para esto vamos a pasar aquí a este
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gráfico en el que está el gráfico d
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espacio contratiempos y aquí está el
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tiempo que duraron sí que fueron los dos
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duraron cinco segundos y el espacio que
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recorrieron porque es un gráfico de
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posición contra tiempo pues porque la
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velocidad es el espacio que recorremos
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en la unidad de tiempo en la cantidad de
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tiempo que duramos recorriendo ese
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espacio por ejemplo para el automóvil
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rojo que el gráfico sería obviamente la
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línea roja observamos que duró cinco
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segundos para llegar a una distancia de
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80 metros entonces si queremos encontrar
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la velocidad promedio durante todo el
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recorrido del automóvil rojo pues
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veríamos que recorrió cuánto espacio 80
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metros en cuánto tiempo en 5 segundos 80
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dividido en 5 de 16 metros por segundo o
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metros sobre segundo mientras que el
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automóvil azul ya no recorrió 80 metros
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recorrió 100 metros en los mismos 5
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segundos
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por eso la velocidad es de 20 metros por
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segundo si observamos algo clave que
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tenemos que comprender es que entre más
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velocidad más inclinada vais
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la línea miren que la línea roja la del
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carro rojo que fue el menos veloz tiene
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una inclinación un poco menor a la
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inclinación que tiene la recta o el
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gráfico de la velocidad del carro azul
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pero si observamos bien
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y pausa un momentico podemos observar
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que en el primer segundo
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el automóvil azul todavía no había
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recorrido 20 metros o sea si la
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velocidad hubiera sido siempre la misma
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pues en los primeros 20 metros había
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durado un segundo otro segundo otro
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segundo otro segundo y otro para un
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total de 5 segundos pero todos sabemos
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obviamente cuando arrancan los carros
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pues llevan una velocidad de 0 van
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aumentando digamos que 5 metros por
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segundo 10 metros por segundo si osea
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van aumentando su velocidad porque por
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algo se llama acelerar no están
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acelerando hasta que pues llegan a su
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máxima velocidad cuando llegan aquí a
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los 100 metros que sería el final de la
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carrera no entonces si hacemos un
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gráfico un poco mejor de la velocidad
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por ejemplo o del espacio contra el
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tiempo recorrido por el carro azul
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podemos observar que el gráfico más
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correcto sería este gráfico si esta
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parte de atrás no la tengamos en cuenta
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sí porque aquí digámoslo así que llevaba
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poquita velocidad va aumentando
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aumentando aumentando y cada vez que a
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medida que pasa el tiempo aumenta
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la velocidad entonces el gráfico más
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correcto de la velocidad sería este
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gráfico si el gráfico de posición
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contratiempo hasta el momento hablamos
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de velocidad promedio si la velocidad
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promedio del auto azul fue 20 metros por
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segundo pero qué tal si alguien me
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dijera sí pero yo quiero saber cuál es
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la velocidad que el auto rojo lleva o el
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auto azul llevaba cuando llevaba tres
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segundos obviamente la velocidad no va a
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ser de 20 metros por segundo para esto
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es para lo que se utiliza el concepto de
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derivada entonces vamos a aclarar un
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poco más ese concepto observando este
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gráfico como ya les decía la derivada me
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permite encontrar la velocidad en un
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punto específico si de esta función se
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esto se puede llamar una función por
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ejemplo si yo quisiera hallar la
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velocidad exacta en el punto 2 ya
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sabemos la velocidad promedio no la
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velocidad promedio ya atrás se con rojo
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pero pues esta es la velocidad del carro
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azul recordemos que la velocidad
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promedio en todos estos 5 segundos era
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de 20 metros por segundo no pero
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supongamos que yo quiero hallar la
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velocidad exacta que llevaba cuando
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había recorrido dos segundos entonces lo
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que voy a hacer es lo siguiente este
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punto lo voy a llamar el punto xy si
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ustedes no alcanzan a ver bien aquí los
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invito a que coloquen el vídeo en alta
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definición para que lo puedan ver un
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poco mejor entonces este punto se llama
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el punto xy y pues obviamente queríamos
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decir que en este caso la equis valdría
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2 o sea serían 2 segundos y la aie sería
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más o menos que unos 18 metros
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sí pero recuerden que es porque yo
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escogí este punto porque hubiera podido
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escoger este punto entonces la equis ya
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sería 28 segundos más o menos y la ye
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serían más o menos 32 metros entonces
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por eso le colocó xy porque este punto o
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sea yo voy a calcular en este caso la
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velocidad en dos segundos pero igual
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podría ser en tres o en cuatro en cinco
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segundos listos
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entonces la coordenada x pues sería la
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equis y la coordenada ye sería la aie
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pero recordemos que la ye también se
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puede llamar fx porque pues por qué
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es la imagen de la equis si entonces la
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imagen de la x es f x
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ahora obviamente obtendría una velocidad
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más exacta si en lugar de calcular la
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velocidad promedio entre 0 y 5 calculará
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la velocidad entre este punto y 5
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entonces la velocidad ya sería ésta así
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ya sería la velocidad calculada entre el
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segundo 2 y el segundo 5 porque utilice
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esos dos puntos pero como esto lo
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queremos hacer para cualquier segundo en
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el que hayamos escogido los puntos por
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ejemplo yo hubiera podido colocar este
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punto aquí o aquí o aquí sí entonces
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vamos a hacer lo siguiente vamos a mirar
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las coordenadas de este punto pero
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vuelvo a decirles este punto puede estar
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aquí o aquí no las coordenadas de este
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punto en este caso serían 5 100 y 5
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segundos y 100 metros pero las vamos a
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calcular dependiendo del tiempo
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transcurrido entre este punto y este
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punto entonces vamos a marcar aquí el
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tiempo entonces al tiempo que ha
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transcurrido desde el segundo 2 hasta el
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segundo 5 lo voy a llamar h
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así que a eso es a lo que se le llama el
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incremento en el tiempo o sea el tiempo
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que pasó entre este punto y este punto
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en algunos libros ese incremento lo
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nombran así como les escribo acá lo
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nombran con un triangulito y la equis
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que quiere decir también incremento de
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equis a mí me gusta utilizar más la h
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pues porque es más fácil comprender otra
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letra que pues ese triángulo con la
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equis entonces si este punto se llama x
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si el tiempo transcurrido aquí es x cuál
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sería el tiempo aquí pues simplemente
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sería a esta x sumarle la h y ese sería
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el tiempo acá entonces el tiempo acá
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sería x + h y por lo tanto la imagen de
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x + h sería pues efe de x + h si vuelvo
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a decirles que estoy colocando esto
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porque el punto podría ser aquí o aquí
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sí entonces miren que este punto sería
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esta x que serían los dos segundos más
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el incremento que sería pues la h lo
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mismo aquí esta sería la imagen de x + h
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entonces mirando ha estado el momento si
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quisiéramos hallar la velocidad desde
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este punto hasta este
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tendremos lo siguiente aquí primero que
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todo el tiempo transcurrido entre este
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punto y este punto cual es yo lo nombre
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h entonces el tiempo sería h y el
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espacio recorrido cuál sería el espacio
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recorrido sería pues el espacio que
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recorrió desde aquí desde casi los 20
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metros hasta los 100 metros que de donde
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resulta esta distancia obviamente vuelvo
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a decirles porque esto puede cambiar si
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aquí ya el espacio recorrido sería menos
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pero como podríamos encontrar el espacio
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pues sería simplemente a todo este
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espacio que sería fx + h le quitamos
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este que sería fx y nos queda que el
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espacio desde aquí hasta aquí es f x + h
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menos f x entonces aquí en lugar de
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espacio pues colocaríamos f x + h menos
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f x pero si queremos encontrar la
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velocidad exacta en este punto pues aquí
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ya va un poco más exacta que cuando lo
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habíamos calculado desde 0 hasta 5 no la
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idea sería ir acercando este punto cada
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vez más
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y más hasta que este punto llegue aquí y
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obviamente pues ya la velocidad
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calculada sería la velocidad exacta en
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este punto que miren que resulta siendo
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la recta tangente entonces como la idea
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es que esta distancia h osea corramos
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este punto hasta que el tiempo
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transcurrido entre este punto y este
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punto tienda a cero
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entonces nos quedaría que la velocidad
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exactamente en un punto sería el límite
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cuando el incremento de cero se miren
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que aquí el incremento pues es más o
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menos medio segundo la idea es que el
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incremento tienda a cero si entonces el
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límite cuando el incremento tiende a
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cero recuerden nuevamente que en algunos
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libros no lo escriben como h sino como
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delta x df x + h fx sobre h entonces
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para concluir recordemos que la derivada
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es la que me permite encontrar la
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velocidad
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en un punto exacto o también podemos
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decir la derivada es la que me permite
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encontrar la recta tangente a una
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función dada bueno amigos espero que les
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haya gustado la clase recuerden que
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pueden ver el curso completo de
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derivadas disponible en mi canal o en el
00:10:30
link que está en la descripción del
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vídeo o en la tarjeta que les dejo aquí
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en la parte superior los invito a que se
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suscriban comenten compartan y le den
00:10:38
laical vídeo y no siendo más bye bye
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